Алгебра Ли.html

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Замечания
2 Примеры
3 См. также
4 Литература

править Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется унитарный k-модуль $\mathfrak{L}$ над коммутативным кольцом $k$ с единицей, если он снабжён билинейным отображением

$\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],$

и это отображение удовлетворяет следующим двум аксиомам:

$x, x = 0$ ;
$x, y, z] + y, z, x] + z, x, y] = 0$ (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

править Замечания

Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
Лиева алгебра $\mathfrak{L}$ называется коммутативной, если $\forall x, y \in \mathfrak{L}\colon[x, y] = 0$ .
Особенно интересен случай, когда $k$ — поле, а $\mathfrak{L}$ — векторное пространство.
Если характеристика поля $k$ не равна $2$ , то тождество $x, x = 0$ эквивалентно антикоммутативности $x, y + y, x = 0$ .

править Примеры

править 3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

править Ассоциативные алгебры над k и умножение в k-модуле

Пусть $\mathfrak{A}$ — произвольная ассоциативная алгебра над $k$ с умножением: $(x, y)$ → $x y$ . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над $k$ , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение: $x, y = x y - y x$ . Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

править Алгебра Ли векторных полей

Если M — риманово многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли относительно операции коммутирования:

$[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X$

где X, Y — векторные поля, а $\nabla_X$ — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Если на многообразии задана локальная система координат, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен:

$[X, Y]^i = X^j \nabla_j Y^i - Y^j \nabla_j X^i$

Коммутация векторных полей X и Y эквивалентна взятию производной Ли от поля Y по направлению поля X:

$[X, Y] \equiv \mathfrak{L}_X Y$ .

В этом смысле тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

$[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow \mathfrak{L}_X [Y,Z] = [\mathfrak{L}_X Y, Z] + [Y, \mathfrak{L}_X Z]$

править Множество всех дифференцирований любой k-алгебры

Множество $\operatorname{Der}\,\mathfrak{A}$ всех дифференцирований любой $k$ — алгебры является лиевой алгеброй с операцией $[D_1, D_2]=D_1\circ D_2-D_2\circ D_1$ .

Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида $a d x : y$ → $[x, y]; x, y \in \mathfrak{L}$ .
Они образуют в $Der (\mathfrak{L})$ подалгебру $ad \mathfrak{L}$ и отображение $x$ → $a d x$ является гомоморфизмом $\mathfrak{L}$ → $Der (\mathfrak{L})$ , называемым присоединённым представлением лиевой алгебры $\mathfrak{L}$ . Его образ $ad \mathfrak{L}$ изоморфен факторалгебре алгебры $\mathfrak{L}$ по её центру $Z(L):=\{x \in \mathfrak{L}| [x,y] = 0; \forall y\in \mathfrak{L}\}$ .